Xét Tính Tăng Giảm Của Dãy Số

     
Phương pháp áp dụngTa rất có thể lựa lựa chọn 1 trong những cách sau:Cách 1: tiến hành theo những bước:Bước 1: Lập hiệu H = u$_n+1$ - u$_n$, tự đó xác định dấu của H.Bước 2: khi đó:* nếu H > 0 với ∀n ∈ N* thì hàng số (u$_n$) tăng.* nếu như H bí quyết 2: ví như u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N* ta có thể thực hiện nay theo các bước:Bước 1: Lập tỉ số p = $fracu_n + 1u_n$, từ đó so sánh P với 1.

Bạn đang xem: Xét tính tăng giảm của dãy số

Bước 2: khi đó:* Nếu phường > 1 cùng với ∀ n ∈ N* thì hàng số (u$_n$) tăng.* Nếu p Ví dụ vận dụngThí dụ 1. Xét tính tăng, bớt của hàng số (u$_n$) với u$_n$ = $fracn5^n$.
Ta rất có thể trình bày theo hai cách sau:Cách 1:
Xét hiệu: H = u$_n+1$ - u$_n$ = $fracn + 15^n + 1$ - $fracn5^n$ = $fracn + 1 - 5n5^n + 1$ = $frac1 - 4n5^n + 1$ giải pháp 2: Dễ thấy u$_n$ > 0 với ∀n ∈ N*, xét tỉ số:P = $fracu_n + 1u_n$ = $fracn + 15^n + 1$:$fracn5^n$ = $frac15left( 1 + frac1n ight)$ thí dụ 2. Xét tính tăng, bớt của hàng số (u$_n$), biết: $left{ eginarraylu_1 = 1\u_n = 2u_n - 1 + 1,,,n ge 2endarray ight.$.

Xem thêm: The Balanced Equation Shows The Reaction Between Aluminium Hydroxide And Hydrochloric Acid To Form Aluminium Chloride And Water: Al(Oh)3 + 3Hcl = Alcl3 + 3H2O


Ta có thể trình bày theo hai biện pháp sau:Cách 1:
Xét hiệu: H = u$_n+1$ - u$_n$ = (2u$_n$ + 1) - u$_n$ = u$_n$ + 1.Ta đã đi chứng minh u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* bằng quy nạp.Ta có: u$_1$ = 1 > 0, tức bí quyết đúng cùng với n = 1.Giả sử bí quyết đúng cùng với n = k, tức là uk > 0, ta đi chứng tỏ uk + 1 > 0.Thật vậy: u$_k+1$ = 2u$_k$ + 1 > 0, đpcm.Vậy, ta luôn có u$_n$ > 0, ∀n ∈ N*.Do đó H > 0, từ kia suy ra dãy (u$_n$) tăng.Cách 2: Trước tiên, ta đi chứng tỏ u$_n$ > 0, ∀n ∈ N* (tương từ như trong cách 1)Xét tỉ số:P = $fracu_n + 1u_n$ = $frac2u_n + 1u_n$ = 2 + $frac1u_n$ > 1Vậy, hàng (u$_n$) tăng.* Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa các toán tử mang ý nghĩa đặc thù trong vô số nhiều trường hợp bọn họ sử dụng tính đối kháng điệu của dãy số để chứng minh, rõ ràng với hàng số u$_n$ để chứng tỏ u$_k$ ≤ u$_0$ ta đi chứng minh dãy u$_n$ solo điệu giảm.Thí dụ 3. mang đến dãy số (u$_n$) xác định bởi: u$_1$ = 3 và u$_n$ = 4u$_n-1$ - 1 với tất cả n ≥ 2.Chứng minh rằng:a. U$_n$ = $frac2^2n + 1 + 13$. B. (u$_n$) là 1 trong dãy số tăng.

Xem thêm: Nghị Luận Học Đi Đôi Với Hành Hay Nhất, Nghị Luận Học Đi Đôi Với Hành


a. Ta đi minh chứng công thức bên trên bằng phương thức quy nạp.* cùng với n = 1, ta có: u$_1$ = $frac2^2 + 1 + 13$ = $frac93$ = 3 đúng.* giả sử công thức đúng cùng với n = k, tức là uk = $frac2^2k + 1 + 13$.* Ta đi chứng tỏ (2) đúng với n = k + 1, có nghĩa là chứng minh: u$_k+1$ = $frac2^2k + 3 + 13$.Thật vậy: u$_k+1$ = 4u$_k$ - 1 = $frac4(2^2k + 1 + 1)3$ - 1 = $frac2^2k + 1 + 2 + 4 - 33$ = $frac2^2k + 3 + 13$.Vậy, ta được u$_n$ = $frac2^2n + 1 + 13$.b. Xét hiệu: u$_k+1$ - u$_k$ = $frac2^2k + 3 + 13$ - $frac2^2k + 1 + 13$ = $frac2^2k + 1(2^2 - 1)3$ = 22k + 1 > 0 => u$_k+1$ > u$_k$Vậy (u$_n$) là 1 trong những dãy số tăng.